Funções trigonométricas: seno e cosseno

    O teorema que enunciamos a seguir apresenta algumas propriedades que descrevem de maneira satisfatória as funções seno e cosseno. 

    Teorema: Existe um único par de funções, definidas em ℝ, denominadas seno e cosseno, que satisfazem as seguintes propriedades:

(1) sen 0 = 0

(2) cos 0 = 1

(3) Para quaisquer valores reais a e b:

                sen(a-b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a)

(4) Para quaisquer valores reais a e b:

                cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)

(5) Existe r > 0 tal que  0 < x < r . 

                0 < sen(x) < x < tg(x)

    Essas relações permitem demonstrar outras que decorrem diretamente das cinco propriedades mencionadas. Tomando a = b = t, temos:

        cos (t-t) = cos (0) = cos(t)cos(t) + sen(t)sen(t) = cos²(t) + sen²(t) = 1

        Como exemplo, vamos mostrar que a função seno é par e a função cosseno é ímpar. Fazendo a = 0 e b = t, seguem:

        sen(-t) = sen( 0 - t ) = sen(0)cos(t) - sen(t)cos(0) = 0 - sen(t) = -sen(t)

        cos(-t) = cos( 0 - t ) = cos(0)cos(t) + sen(0)sen(t) = cos(t) - 0 = cos(t) 

    Por hoje é só. Eu nunca havia percebido a importância deste teorema até revê-lo recentemente, devido a uma prova que farei no final do mês. A partir disso, surgiu a ideia de criar um blog, onde pretendo registrar minhas redescobertas, para poder revisitá-las futuramente com mais facilidade.

Referência:

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo: volume 1. Rio de Janeiro. LTC–Livros Técnicos e Científicos. 6ª edição, 2019.